確率密度関数の決定と期待値

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = c\,x(1-x)$（$0 \le x \le 1$、それ以外では $f(x)=0$）で与えられている。定数 $c$ の値を求め、さらに期待値 $E[X]$ を求めよ。

$c=6$、$E[X]=\dfrac{1}{2}$

確率密度関数は全区間で積分すると1になる必要があるから、$\displaystyle\int_0^1 c\,x(1-x)\,dx = 1$ を満たす。左辺を計算すると $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$ であるから $c=6$。よって $f(x)=6x(1-x)$。期待値は $E[X]=\displaystyle\int_0^1 6x^2(1-x)\,dx = 6\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$。