楕円の焦点からの距離

楕円 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ の焦点のうち $x$ 座標が正のものを $F$ とする。この楕円上の点 $P$ の $x$ 座標が3であるとき、点 $P$ の座標（$y$座標は正とする）と、線分 $PF$ の長さを求めよ。

$P\left(3,\dfrac{16}{5}\right)$、$PF=\dfrac{16}{5}$

$a=5$、$b=4$であり、$c^2=25-16=9$より$c=3$である。よって焦点は$F(3,0)$である。$x=3$を代入すると$\dfrac{9}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$より$y^2=\dfrac{256}{25}$、$y=\dfrac{16}{5}$である。$P$の$x$座標が$F$の$x$座標と等しいので、$PF=\dfrac{16}{5}$である。（検算：離心率$e=\dfrac{3}{5}$を用いた公式$PF=a-ex_0=5-\dfrac{9}{5}=\dfrac{16}{5}$と一致する。）