相関係数の変換公式

2つの変量 $x,\ y$ について、共分散が $12$、$x$ の標準偏差が $3$、$y$ の標準偏差が $5$ であるとき、相関係数 $r$ を求めよ。また、$u=2x+1$、$v=-3y+4$ で新しい変量 $u,\ v$ を定義するとき、$u$ と $v$ の相関係数を求めよ。

$r=0.8$、$u,v$ の相関係数は $-0.8$

相関係数は $r=\dfrac{\text{共分散}}{s_x s_y}=\dfrac{12}{3\times 5}=0.8$。一次変換 $u=ax+b,\ v=cy+d$ に対し、相関係数は $\text{sign}(ac)$ 倍される（絶対値は変わらないが、係数の符号の積が負なら符号が反転する）。ここで $a=2>0,\ c=-3<0$ なので $\text{sign}(ac)=-1$。よって $u,v$ の相関係数は $-0.8$。