二等辺三角形の証明

$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形である。辺 $AB$ 上に点 $D$ を、辺 $AC$ 上に点 $E$ を、$AD=AE$ となるようにとる。線分 $BE$ と線分 $CD$ の交点を $P$ とするとき、$\triangle PBC$ が二等辺三角形になることを証明しなさい。

$\triangle PBC$ は $PB=PC$ の二等辺三角形である（証明は解説を参照）。

【証明】$\triangle ABE$ と $\triangle ACD$ において、仮定より $AB=AC$ …①、仮定より $AE=AD$ …②、$\angle A$ は共通であるから $\angle BAE=\angle CAD$ …③。①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \equiv \triangle ACD$。合同な図形の対応する角は等しいから、$\angle ABE=\angle ACD$ …④。また、$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形であるから、底角は等しく、$\angle ABC=\angle ACB$ …⑤。⑤の両辺から、それぞれ④の等しい角をひくと、$\angle ABC-\angle ABE=\angle ACB-\angle ACD$ すなわち $\angle EBC=\angle DCB$。点 $P$ は線分 $BE$ 上、線分 $CD$ 上の点であるから、$\angle PBC=\angle EBC$、$\angle PCB=\angle DCB$ であり、$\angle PBC=\angle PCB$。三角形の2つの角が等しいので、$\triangle PBC$ は二等辺三角形であり、$PB=PC$ である。（証明終わり）