加法定理を用いた三角関数の値の計算

$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$（$\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$）、$\cos\beta = \dfrac{5}{13}$（$0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}$）のとき、$\sin(\alpha+\beta)$ の値を求めよ。

$-\dfrac{33}{65}$

$\alpha$ は第2象限の角なので $\cos\alpha < 0$ であり、$\cos\alpha = -\sqrt{1-\sin^2\alpha} = -\sqrt{1-\dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$ である。$\beta$ は第1象限の角なので $\sin\beta > 0$ であり、$\sin\beta = \sqrt{1-\cos^2\beta} = \sqrt{1-\dfrac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$ である。加法定理 $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ に代入すると、$\sin(\alpha+\beta) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{13} + \left(-\dfrac{4}{5}\right)\times\dfrac{12}{13} = \dfrac{15}{65} - \dfrac{48}{65} = -\dfrac{33}{65}$ となる。