漸化式で定義された数列の一般項

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2$、$a_{n+1}=3a_n+4$（$n=1,2,3,\cdots$）で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_n = 4\cdot 3^{n-1} - 2$

漸化式 $a_{n+1}=3a_n+4$ の特性方程式 $x=3x+4$ を解くと $x=-2$ である。そこで $b_n=a_n+2$ とおくと、$b_{n+1}=a_{n+1}+2=3a_n+4+2=3(a_n+2)=3b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比 $3$ の等比数列である。$b_1=a_1+2=4$ であるから、$b_n=4\times3^{n-1}$ である。よって $a_n=b_n-2=4\times3^{n-1}-2$ である。