内積を用いた垂直条件

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,-1)$とする。$\vec{a}+t\vec{b}$と$\vec{a}$のなす角が$90°$になるように実数$t$の値を定めよ。ただし$t\neq0$とする。

$t=-5$

垂直条件は$(\vec a+t\vec b)\cdot\vec a=0$。$\vec a\cdot\vec a=1+4=5$、$\vec b\cdot\vec a=3\times1+(-1)\times2=1$なので、$5+t\times1=0$より$t=-5$。