四面体の体積と点と平面の距離

座標空間において、$O(0,0,0)$、$A(2,0,0)$、$B(0,3,0)$、$C(0,0,6)$とする。(1) $\triangle ABC$の面積を求めよ。(2) 四面体OABCの体積を求めよ。(3) 点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さを求めよ。

(1) $3\sqrt{14}$ (2) $6$ (3) $\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$

(1) $\vec{AB}=(-2,3,0)$, $\vec{AC}=(-2,0,6)$ より $|\vec{AB}|^2=13$, $|\vec{AC}|^2=40$, $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4$。面積公式 $S=\dfrac12\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}=\dfrac12\sqrt{520-16}=\dfrac12\sqrt{504}=3\sqrt{14}$。(2) $OA,OB,OC$は互いに直交するので $V=\dfrac16\times2\times3\times6=6$。(3) $V=\dfrac13Sh$ より $6=\dfrac13\times3\sqrt{14}\times h$、$h=\dfrac{6}{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$。