サイコロの最大値と条件付き確率

1個のサイコロを3回投げ、出た目を順に $a, b, c$ とする。$M = \max(a, b, c)$ とおく。

(1) $M = 4$ となる確率を求めよ。

(2) $M = 4$ であり、かつ $a + b + c \geq 9$ となるような $(a, b, c)$ の組の総数を求めよ。

(3) $M = 4$ であるという条件のもとで、$a + b + c \geq 9$ となる条件付き確率を求めよ。

(1) $\dfrac{37}{216}$ (2) $19$ 通り (3) $\dfrac{19}{37}$

全事象は $a,b,c \in \{1,2,\dots,6\}$ で $6^3=216$ 通り。

(1) $M=4$ とは「$a,b,c$ がすべて4以下」かつ「少なくとも1つは4」ということ。 $a,b,c\in\{1,2,3,4\}$ となる組は $4^3=64$ 通り、そのうち $a,b,c\in\{1,2,3\}$（最大が3以下）となる組は $3^3=27$ 通り。 よって $M=4$ となる組は $64-27=37$ 通りで、確率は $P(M=4)=\dfrac{37}{216}.$

(2) まず $a,b,c\in\{1,2,3,4\}$ の範囲で $a+b+c\geq 9$ となる組を数える。 $y=a-1,\,y'=b-1,\,y''=c-1$ とおくと $y,y',y''\in\{0,1,2,3\}$ で、条件は $y+y'+y''\geq 6$（最大値は9）。

生成関数 $(1+x+x^2+x^3)^3=(1-x^4)^3(1-x)^{-3}$ の係数を用いると、$x^k$ の係数は $C(k+2,2)-3C(k-2,2)+3C(k-6,2)-C(k-10,2)$ （該当しない組合せは0とする）。

• $k=6$: $C(8,2)-3C(4,2)=28-18=10$
• $k=7$: $C(9,2)-3C(5,2)=36-30=6$
• $k=8$: $C(10,2)-3C(6,2)+3C(2,2)=45-45+3=3$
• $k=9$: $C(11,2)-3C(7,2)+3C(3,2)=55-63+9=1$

合計 $10+6+3+1=20$ 通り。これが $a,b,c\in\{1,2,3,4\}$ で $a+b+c\geq9$ となる総数。

このうち $a,b,c\in\{1,2,3\}$（$M\leq3$）で $a+b+c\geq 9$ となるのは、最大和が $3+3+3=9$ なので $(3,3,3)$ の1通りのみ。

よって $M=4$ かつ $a+b+c\geq9$ となる組の数は $20-1=19 \text{通り}.$

(3) (1)より $M=4$ となる場合の数は37通り、(2)よりそのうち条件を満たすのは19通り。 $P(a+b+c\geq9 \mid M=4)=\dfrac{19}{37}.$