角一定の三角形の面積最大値

三角形ABCにおいて $\angle A=60^\circ$、$AB+AC=8$ とする。辺BCの長さが最小となるときの$AB$, $AC$の値とそのときのBCの長さを求めよ。また、三角形ABCの面積の最大値を求めよ。

$AB=AC=4$ のときBCは最小値 $4$ をとる（このとき三角形は正三角形）。面積の最大値は $4\sqrt3$。

$AB=c$, $AC=b$ とおくと $b+c=8$。余弦定理より $BC^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc=64-3bc$。$bc=b(8-b)=-(b-4)^2+16$ は $b=4$（$c=4$）のとき最大値16をとり、$BC^2$は$bc$の減少関数なので $BC^2=64-48=16$、$BC=4$（最小値）。このとき三角形ABCは一辺4の正三角形である。面積は $S=\dfrac{\sqrt3}{4}bc$ で$bc$の増加関数なので、$bc$が最大の$b=c=4$のとき最大となり、$S_{\max}=\dfrac{\sqrt3}{4}\times16=4\sqrt3$。