メネラウスの定理の利用

三角形$ABC$において、辺$BC$上に点$D$、辺$CA$上に点$E$があり、$BD:DC = 2:3$、$CE:EA = 1:2$である。直線$DE$と辺$AB$の延長との交点を$F$とするとき、$AF:FB$を求めよ。

$AF:FB = 3:1$

三角形$ABC$と、$3$点$F, D, E$を通る直線についてメネラウスの定理を用いると、$\dfrac{AF}{FB} \times \dfrac{BD}{DC} \times \dfrac{CE}{EA} = 1$ が成り立つ。$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{1}{2}$ を代入すると、$\dfrac{AF}{FB} \times \dfrac{1}{3} = 1$ となるので、$\dfrac{AF}{FB} = 3$。よって $AF:FB = 3:1$。