ベクトルの大きさの最小値

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,1)$とする。$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{b}$（$t$は実数）の大きさ$|\vec{p}|$の最小値と、そのときの$t$の値を求めよ。

$t=-\dfrac12$のとき最小値$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

$\vec p=(1+3t,\ 2+t)$より$|\vec p|^2=(1+3t)^2+(2+t)^2=10t^2+10t+5=10\left(t+\dfrac12\right)^2+\dfrac52$。よって$t=-\dfrac12$のとき最小値$\dfrac52$をとり、$|\vec p|$の最小値は$\sqrt{\dfrac52}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。