留数定理による周回積分の計算

複素関数 $f(z)=\dfrac{z}{(z-1)(z+3)}$ について、円周 $|z|=2$ を正の向き（反時計回り）に一周する周回積分 $\displaystyle\oint_{|z|=2} f(z)\,dz$ を求めよ。

$\dfrac{\pi i}{2}$

円内部の極は $z=1$ のみ。留数は $\mathrm{Res}_{z=1}f(z)=\dfrac{1}{1+3}=\dfrac14$。留数定理より積分値は $2\pi i\times\dfrac14=\dfrac{\pi i}{2}$。