三角関数の合成による最大値・最小値

関数$y=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$（$0\le\theta<2\pi$）の最大値と最小値、およびそのときの$\theta$を求めよ。

最大値$\sqrt2$（$\theta=\dfrac{3\pi}{8},\ \dfrac{11\pi}{8}$）、最小値$-\sqrt2$（$\theta=\dfrac{7\pi}{8},\ \dfrac{15\pi}{8}$）

$\sin^2\theta-\cos^2\theta=-\cos2\theta$、$2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$より$y=\sin2\theta-\cos2\theta=\sqrt2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$。$0\le\theta<2\pi$のとき$2\theta-\dfrac{\pi}{4}$は幅$4\pi$にわたって変化するため、最大値$\sqrt2$は$2\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}$すなわち$\theta=\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{11\pi}{8}$のとき、最小値$-\sqrt2$は$2\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}$すなわち$\theta=\dfrac{7\pi}{8},\dfrac{15\pi}{8}$のときに得られる。