等比数列の和

初項 $3$、公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求め、$S_n > 1000$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めなさい。

$S_n = 3(2^n - 1)$、最小の $n$ は $9$

等比数列の和の公式より $S_n = \dfrac{3(2^n-1)}{2-1} = 3(2^n-1)$。$3(2^n-1) > 1000$ を解くと $2^n > 334.33\ldots$。$2^8=256$、$2^9=512$ なので、条件を満たす最小の $n$ は $9$。