複利運用で元利合計が2倍になる年数

元金100万円を年利率3%の複利で運用します。$\log_{10}1.03=0.0128$、$\log_{10}2=0.3010$として、元利合計が初めて200万円を超えるのは何年後か、最も小さい自然数で求めなさい。

$24$年後

$n$年後の元利合計が200万円を超える条件は$100\times1.03^n>200$、すなわち$1.03^n>2$です。両辺の常用対数をとると$n\log_{10}1.03>\log_{10}2$より$n>\dfrac{0.3010}{0.0128}=23.51\cdots$となります。したがって、これを満たす最小の自然数は$n=24$なので、$24$年後です。