コーシーの積分定理の適用

$C$を原点を中心とする半径1の円周（正の向き）とする。$f(z)=e^z$ が $\mathbb{C}$全体で正則であることを用いて，積分 $\displaystyle\oint_C e^z\,dz$ の値を求めよ。

$0$

$f(z)=e^z$は整関数であり、円周$C$およびその内部で正則である。コーシーの積分定理より、正則関数の単純閉曲線に沿う積分は0となるので、$\displaystyle\oint_C e^z\,dz = 0$ である。