厚紙から作る箱の容積の最大化

1辺の長さが12cmの正方形の厚紙があります。この厚紙の四すみから1辺の長さが$x$cmの正方形を切り取り、折り曲げてふたのない箱を作ります。箱の容積が最大になるときの$x$の値と、そのときの容積を求めなさい。ただし$0<x<6$とする。

$x=2$のとき最大で、容積は$128$cm³

箱の底面は1辺$(12-2x)$cmの正方形、高さは$x$cmなので、容積$V$は$V=x(12-2x)^2$と表せます。これを展開すると$V=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$です。$V$を$x$で微分すると$V'=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$となります。$0<x<6$の範囲で$V'=0$となるのは$x=2$のときで、このとき$V'$は正から負に変わるので$x=2$で極大かつ最大になります。$x=2$のとき$V=4\times8-48\times4+144\times2=32-192+288=128$です。したがって$x=2$のとき容積は最大となり、そのときの容積は$128$cm³です。