文字係数を含む二次関数の最小値（軸の位置で場合分け）

$a$ を定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a - 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を、$a$ の値の範囲で場合分けして求めよ。

$a<0$ のとき最小値 $a^2+a-1$（$x=0$）／$0\le a\le 2$ のとき最小値 $a-1$（$x=a$）／$a>2$ のとき最小値 $a^2-3a+3$（$x=2$）

$f(x)=(x-a)^2+a-1$ と平方完成できるので、頂点は $x=a$。頂点が定義域 $[0,2]$ の内側か外側かで場合分けする。$0\le a\le 2$ なら頂点で最小値 $a-1$。$a<0$ なら区間内で単調増加なので $x=0$ が最小、$f(0)=a^2+a-1$。$a>2$ なら区間内で単調減少なので $x=2$ が最小、$f(2)=4-4a+a^2+a-1=a^2-3a+3$。