正三角形を並べた図形の総数

1辺の長さが1の正三角形のタイルを、下の図のように1段目に1枚、2段目に3枚、3段目に5枚、というように各段で使うタイルの枚数が奇数の順に増えるように並べて大きな正三角形を作っていきます。$n$段目までに使うタイルの総数を$n$の式で表しなさい。また、10段目まで並べたときのタイルの総数を求めなさい。

タイルの総数は$n^2$枚、10段目までは$100$枚

各段で使うタイルの枚数は$1,3,5,\ldots$という初項1、公差2の等差数列になっており、第$k$段のタイル枚数は$2k-1$枚です。$n$段目までの総数は、この数列の初項から第$n$項までの和なので$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}-n=n(n+1)-n=n^2$枚となります。$n=10$のとき、タイルの総数は$10^2=100$枚です。