高校 ・ 数III
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問題 1
次の関数を微分せよ。f(x)=x3−3x2+2xf(x) = x^3 - 3x^2 + 2xf(x)=x3−3x2+2x
f′(x)=3x2−6x+2f'(x) = 3x^2 - 6x + 2f′(x)=3x2−6x+2
xnx^nxnの導関数はnxn−1nx^{n-1}nxn−1であるから、各項を微分すると、(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2(x3)′=3x2、(−3x2)′=−6x(-3x^2)' = -6x(−3x2)′=−6x、(2x)′=2(2x)' = 2(2x)′=2。よって、f′(x)=3x2−6x+2f'(x) = 3x^2 - 6x + 2f′(x)=3x2−6x+2。
問題 2
次の関数を微分せよ。f(x)=ex−2xf(x) = e^x - 2xf(x)=ex−2x
f′(x)=ex−2f'(x) = e^x - 2f′(x)=ex−2
exe^xexの導関数はexe^xexであるから、(ex)′=ex(e^x)' = e^x(ex)′=ex、(−2x)′=−2(-2x)' = -2(−2x)′=−2。よって、f′(x)=ex−2f'(x) = e^x - 2f′(x)=ex−2。
問題 3
次の関数を微分せよ。f(x)=lnx+x2f(x) = \ln x + x^2f(x)=lnx+x2
f′(x)=1x+2xf'(x) = \dfrac{1}{x} + 2xf′(x)=x1+2x
lnx\ln xlnxの導関数は1x\dfrac{1}{x}x1であるから、(lnx)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}(lnx)′=x1、(x2)′=2x(x^2)' = 2x(x2)′=2x。よって、f′(x)=1x+2xf'(x) = \dfrac{1}{x} + 2xf′(x)=x1+2x。
問題 4
次の関数を微分せよ。f(x)=sinx+cosxf(x) = \sin x + \cos xf(x)=sinx+cosx
f′(x)=cosx−sinxf'(x) = \cos x - \sin xf′(x)=cosx−sinx
sinx\sin xsinxの導関数はcosx\cos xcosx、cosx\cos xcosxの導関数は−sinx-\sin x−sinxであるから、f′(x)=cosx−sinxf'(x) = \cos x - \sin xf′(x)=cosx−sinx。
問題 5
次の関数を微分せよ。f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x
f′(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}f′(x)=2x1
x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}x=x21と表せるので、xnx^nxnの導関数の公式nxn−1nx^{n-1}nxn−1を用いると、f′(x)=12x−12=12xf'(x) = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}f′(x)=21x−21=2x1。