高校 ・ 数II・B・C
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問題 1
0≦θ<2π0 \leqq \theta < 2\pi0≦θ<2πのとき、方程式sinθ=12\sin\theta = \dfrac{1}{2}sinθ=21を解け。
θ=π6, 56π\theta = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\piθ=6π, 65π
単位円上でyyy座標が12\dfrac{1}{2}21となる点を考えると、θ=π6\theta = \dfrac{\pi}{6}θ=6πと、その補角にあたるθ=π−π6=56π\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5}{6}\piθ=π−6π=65πの2つが解である。
問題 2
0≦θ<2π0 \leqq \theta < 2\pi0≦θ<2πのとき、方程式cosθ=−12\cos\theta = -\dfrac{1}{2}cosθ=−21を解け。
θ=23π, 43π\theta = \dfrac{2}{3}\pi,\ \dfrac{4}{3}\piθ=32π, 34π
cosθ=12\cos\theta = \dfrac{1}{2}cosθ=21となる基準角はπ3\dfrac{\pi}{3}3π。cosθ\cos\thetacosθが負となるのは第2象限と第3象限なので、θ=π−π3=23π\theta = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2}{3}\piθ=π−3π=32π、θ=π+π3=43π\theta = \pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4}{3}\piθ=π+3π=34πの2つが解である。
問題 3
0≦θ<2π0 \leqq \theta < 2\pi0≦θ<2πのとき、方程式sinθ=−22\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}sinθ=−22を解け。
θ=54π, 74π\theta = \dfrac{5}{4}\pi,\ \dfrac{7}{4}\piθ=45π, 47π
sinθ=22\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}sinθ=22となる基準角はπ4\dfrac{\pi}{4}4π。sinθ\sin\thetasinθが負となるのは第3象限と第4象限なので、θ=π+π4=54π\theta = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5}{4}\piθ=π+4π=45π、θ=2π−π4=74π\theta = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7}{4}\piθ=2π−4π=47πの2つが解である。
問題 4
0≦θ<2π0 \leqq \theta < 2\pi0≦θ<2πのとき、方程式cosθ=32\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}cosθ=23を解け。
θ=π6, 116π\theta = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{11}{6}\piθ=6π, 611π
基準角はπ6\dfrac{\pi}{6}6π。cosθ\cos\thetacosθが正となるのは第1象限と第4象限なので、θ=π6\theta = \dfrac{\pi}{6}θ=6π、θ=2π−π6=116π\theta = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11}{6}\piθ=2π−6π=611πの2つが解である。
問題 5
0≦θ<2π0 \leqq \theta < 2\pi0≦θ<2πのとき、方程式tanθ=3\tan\theta = \sqrt{3}tanθ=3を解け。
θ=π3, 43π\theta = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{4}{3}\piθ=3π, 34π
基準角はπ3\dfrac{\pi}{3}3π。tanθ\tan\thetatanθが正となるのは第1象限と第3象限なので、θ=π3\theta = \dfrac{\pi}{3}θ=3π、θ=π+π3=43π\theta = \pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4}{3}\piθ=π+3π=34πの2つが解である。