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四面体OABCにおいて、$\vec{OA}=\vec a,\ \vec{OB}=\vec b,\ \vec{OC}=\vec c$ とする。$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$ であり、 $\vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=\cos\theta \quad \left(0<\theta<\frac{2\pi}{3}\right)$ が成り立つとする（この範囲でO, A, B, Cは同一平面上になく、四面体をなすことが知られている）。点Hを $\vec{OH}=\dfrac13(\vec a+\vec b+\vec c)$ で定める。

(1) $\vec{OH}\cdot \vec{AB}=0$ かつ $\vec{OH}\cdot \vec{AC}=0$ であることを示し、直線OHが平面ABCと垂直であることを述べよ。

(2) $|\vec{OH}|$ を $\theta$ を用いて表せ。

(3) 四面体OABCの体積を $V(\theta)$ とする。$V(\theta)$ を $\theta$ を用いて表し、$V(\theta)$ が最大となるときの $\theta$ の値と最大値を求めよ。

座標空間において、$O(0,0,0)$、$A(2,0,0)$、$B(0,3,0)$、$C(0,0,6)$とする。(1) $\triangle ABC$の面積を求めよ。(2) 四面体OABCの体積を求めよ。(3) 点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さを求めよ。

平面上の台車に、大きさ$5$Nの力$\vec{F_1}$と大きさ$5$Nの力$\vec{F_2}$が同時にはたらいています。2つの力のなす角が$120^\circ$であるとき、合力$\vec{F_1}+\vec{F_2}$の大きさを求めなさい。

川の流れの速さは秒速2mで、静水時に秒速4mで進める船があります。この船を、川岸に垂直な方向へまっすぐ進むように操縦するには、船首を川岸に垂直な方向から川上側へ何度傾ければよいか求めなさい。また、そのときの船の実際の速さを求めなさい。

$\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(1,3)$ のとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

三角形 $OAB$ において、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

$\vec{a}=(3,-4)$、$\vec{b}=(-1,2)$ のとき、$\vec{a}+2\vec{b}$ を成分表示し、その大きさを求めよ。

空間内の2点 $A(1,2,-1)$、$B(3,0,1)$ がある。点 $P(x, 1, 2)$ が $\vec{AB}\cdot\vec{AP}=0$ を満たすとき、$x$ の値を求めよ。

$\vec{a}=(4,2)$、$\vec{b}=(1,3)$ を2辺とする三角形の面積を求めよ。

空間内の3点 $A(1,0,2)$、$B(3,-1,1)$、$C(2,2,0)$ について、$\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ の値を求めよ。

$\vec{a}=(2,3)$、$\vec{b}=(-1,4)$のとき、内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$を求めよ。

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,-1)$とする。$\vec{a}+t\vec{b}$と$\vec{a}$のなす角が$90°$になるように実数$t$の値を定めよ。ただし$t\neq0$とする。

$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=3$、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$120°$のとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$と$|\vec{a}-\vec{b}|$を求めよ。

空間の点$A(1,-1,2)$、$B(3,2,-1)$について、線分$AB$を$2:1$に内分する点$P$と外分する点$Q$の座標をそれぞれ求めよ。

四面体$OABC$において、辺$OA$を$1:2$に内分する点を$P$、辺$OB$の中点を$Q$とする。$\vec{OA}=\vec a$、$\vec{OB}=\vec b$、$\vec{OC}=\vec c$とするとき、$\vec{PQ}$を$\vec a,\vec b,\vec c$を用いて表せ。

空間の3点$A(1,0,0)$、$B(0,2,0)$、$C(0,0,3)$を通る平面の方程式を求めよ。また、原点$O$からこの平面までの距離を求めよ。

空間の2点$A(1,2,3)$、$B(4,-2,5)$間の距離を求めよ。

$\vec{a}=(4,-3)$のとき、$|\vec{a}|$を求めよ。

3点$A(-1,2)$、$B(3,5)$、$C(x,8)$が一直線上にあるとき、$x$の値を求めよ。

$\vec{a}=(1,3)$、$\vec{b}=(2,-1)$に対して、$\vec{a}+t\vec{b}$が$\vec{a}-\vec{b}$に平行になるように実数$t$の値を定めよ。

座標平面上に3点$A(1,1)$、$B(5,3)$、$C(3,7)$がある。三角形$ABC$の重心$G$の座標を求めよ。また、$\vec{AG}$を成分で表せ。

点$A(2,-1)$、$B(6,3)$について、線分$AB$を$1:3$に外分する点の座標を求めよ。

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,1)$とする。$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{b}$（$t$は実数）の大きさ$|\vec{p}|$の最小値と、そのときの$t$の値を求めよ。

$\vec{a}=(2,-1,2)$のとき、$|\vec{a}|$を求めよ。

空間ベクトル$\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(1,0,1)$について、内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$の値と、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

$|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=4,\ \vec{a}\cdot\vec{b}=6$ のとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$（$t$ は実数）の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

空間内に3点 $A(1,0,0)$、$B(0,2,0)$、$C(0,0,3)$ がある。原点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、線分 $OH$ の長さを求めよ。

2点$A(1, 2)$、$B(4, 6)$について、$\vec{AB}$を成分で表し、その大きさ$|\vec{AB}|$を求めなさい。

空間内の2点 $A(1, 2, 3)$, $B(7, -4, 9)$ に対して、線分ABを $2:1$ に内分する点Pの座標を求めよ。

原点をOとする座標空間において、点A, B, Cは $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$ を満たし、さらに $\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\vec{OB}\cdot\vec{OC}=\vec{OC}\cdot\vec{OA}=t$ を満たすとする（tは実数の定数）。

(1) O, A, B, Cが同一平面上にない四面体OABCを作るような実数tの範囲を求めよ。

(2) (1)の範囲のtに対して、四面体OABCの体積をV(t)とする。V(t)をtの式で表せ。

(3) V(t)を最大にするtの値と、そのときのV(t)の最大値を求めよ。

平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=4$, $|\vec{a}+\vec{b}|=2\sqrt{19}$ を満たすとき、次の問いに答えよ。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求めよ。

(3) $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めよ。

平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{19}$ を満たすとき、次の問いに答えよ。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求めよ。

(3) $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めよ。