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空間内に3点 $A(1,0,0)$、$B(0,2,0)$、$C(0,0,3)$ がある。原点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、線分 $OH$ の長さを求めよ。

$|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=4,\ \vec{a}\cdot\vec{b}=6$ のとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$（$t$ は実数）の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

2点$A(1, 2)$、$B(4, 6)$について、$\vec{AB}$を成分で表し、その大きさ$|\vec{AB}|$を求めなさい。

空間内の2点 $A(1, 2, 3)$, $B(7, -4, 9)$ に対して、線分ABを $2:1$ に内分する点Pの座標を求めよ。

原点をOとする座標空間において、点A, B, Cは $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$ を満たし、さらに $\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\vec{OB}\cdot\vec{OC}=\vec{OC}\cdot\vec{OA}=t$ を満たすとする（tは実数の定数）。

(1) O, A, B, Cが同一平面上にない四面体OABCを作るような実数tの範囲を求めよ。

(2) (1)の範囲のtに対して、四面体OABCの体積をV(t)とする。V(t)をtの式で表せ。

(3) V(t)を最大にするtの値と、そのときのV(t)の最大値を求めよ。

平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=4$, $|\vec{a}+\vec{b}|=2\sqrt{19}$ を満たすとき、次の問いに答えよ。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求めよ。

(3) $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めよ。

平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{19}$ を満たすとき、次の問いに答えよ。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求めよ。

(3) $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めよ。