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三角形ABCにおいて $\angle A=60^\circ$、$AB+AC=8$ とする。辺BCの長さが最小となるときの$AB$, $AC$の値とそのときのBCの長さを求めよ。また、三角形ABCの面積の最大値を求めよ。

あるノートは1冊300円で、1日に120冊売れています。このノートを1円値下げするごとに、1日の販売数が2冊ずつ増えることがわかっています。値下げ額を$x$円とするとき、1日の売り上げによる利益が最大になる値下げ額を求めなさい。ただし、仕入れ値は考えず、売上金額をそのまま利益とする。

サッカーボールを蹴ったところ、地面からの高さ$y$m（蹴った地点からの水平距離を$x$mとする）が$y=-\dfrac{1}{20}x^2+2x$という関係で表されることがわかりました。ボールが最も高くなるのは、蹴った地点から水平距離何mの地点で、そのときの高さは何mか求めなさい。

二次関数 $y = -2x^2 + 8x - 5$ の最大値を求めよ。

二次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ のグラフの頂点の座標を求めよ。

二次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ について、$0 \le x \le 2$ における最小値を、定数 $a$ の値によって場合分けして求めよ。

$a$ を定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a - 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を、$a$ の値の範囲で場合分けして求めよ。

長さ $20\text{m}$ のロープを使って長方形の柵を作る。囲む面積を最大にするには、縦・横の長さをそれぞれ何mにすればよいか。また、そのときの最大面積を求めよ。

関数 $y = x^2 - 4x + 7$ の最小値を求めなさい。